Difference of squares

සංඛ්‍යාවකට ගුණාකාර තිබේ.
6 = 2 x 3
සමීකරණ සඳහාද ගුණාකාර ඇත.
x2+4x+3 =(x +3) (x +1)

සාධක සෙවීම සංඛ්‍යාවක හෝ සමීකරණයක ගුණාකාර සොයාගැනීමේ ක්‍රියාවලියයි.

2y+6 සමීකරණය සලකන්න.
එය 2(y + 3) ලෙස ලිවිය හැක. එවිට 2, y + 3 සාධක වේ.
2 ඉහත සමීකරණයේ පොදු සාධකය ලෙස හඳුන්වයි.

3y2+12y
3y2+12y = 3(y2+4y)

එය මෙලෙසද සෑදිය හැක.
3y2 සහ 12y පද y නම් විචල්‍ය භාවිතා කරයි.
එමගින් 3y සෑදේ.
3y2 යනු 3y × y වේ.
12y යනු 3y × 4 වේ.
3y2+12y = 3y(y+4)
එය විශාලනය කිරීමෙන්
3y(y+4) = 3y × y + 3y × 4 = 3y2+12y ලැබේ.

මෙම පාඩමේ ^ සළකුණ වර්ගයක් ලෙස සලකන්න.

4x^2 − 9 ප්‍රකාශනය සලකන්න.
4x2 පදය (2x)^2 ලෙස ලිවිය හැක.
9 සංඛ්‍යාව (3)^2 ලෙස ලිවිය හැක.
4x2 − 9 = (2x)^2 − (3)^2

(a+b)(a−b) = a^2 − b^2 රටාව සැලකීමෙන්,
2x පදය a ලෙසද, 3 සංඛ්‍යාව b ලෙසද සලකා
(2x)^2 − (3)^2= (2x +3) (2x -3) යනුවෙන් ප්‍රකාශ කළ හැක.

(2x+3)(2x−3) = 2x (2x-3) + 3(2x-3)
4x^2 - 6x + 6x - 9
4x^2 - 9
4x^2 - 9 හි ගුණාකාර (2x+3) හා (2x−3) වේ.

විවිධ ප්‍රකාශනවල ගුණාකාර සෙවීමේදී, පහත රටාවල් මතක තබා ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ.

a^2 − b^2 = (a+b)(a−b)
a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)(a+b)
a^2 − 2ab + b^2 = (a−b)(a−b)

a^3 + b^3 = (a+b)(a^2−ab+b^2)
a^3 − b^3 = (a−b)(a^2+ab+b^2)

a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = (a+b)^3
a^3−3a^2b+3ab^2−b^3 = (a−b)^3

ඉහත දක්වන ලද ප්‍රකාශන ප්‍රසාරණය කරන්න.
එමගින් ඒවා මුල් ප්‍රකාශනයට ගෙනයා හැකිද?
ගුණ කිරීමේදී අගයන්වල + හා - භාවය සැලකීම ඉතා වැදගත්ය.

(+)( + ) ගුණ කිරීමේදී පිළිතුර (+) වේ.
(+)( - ) ගුණ කිරීමේදී පිළිතුර (-) වේ.
(-)( - ) ගුණ කිරීමේදී පිළිතුර (+) වේ.
(-)( + ) ගුණ කිරීමේදී පිළිතුර (-) වේ.

w^4 − 16 ප්‍රකාශනය සලකන්න.
w^4 යන්න 2 හි වර්ගයක් ලෙස ලිවිය හැක.

w^4 − 16 = (w^2)^2 − 4^2 මෙය වර්ග දෙකක අන්තරයකි.
w^4 − 16 = (w^2+ 4)(w^2− 4)
(w^2− 4)=(w+ 2)(w− 2) මෙයද වර්ග දෙකක අන්තරයකි.
w^4 − 16 = (w^2+ 4)(w+ 2)(w− 2)

3u^4 − 24uv^3 = 3u(u^3 − 8v^3)
3u^4 − 24uv^3 = 3u(u^3 − (2v)^3)
= 3u(u−2v)(u^2+2uv+4v^2)

z^3 − z^2 − 9z + 9
z^2(z−1) − 9(z−1)
(z-1) ප්‍රකාශය පද දෙකෙහිම ඇත.
(z^2−9)(z−1)
z^2−9 වර්ග දෙකක අන්තරයකි
(z−3)(z+3)(z−1)

(I) 5y^2 + 15y හි සාධක සොයමු.
5(y^2 + 3y)

(ii) x^5 - 81x හි සාධක සොයමු.
x^5 සහ 81x හි පුද ගුණාකාරය x වේ.
x^5 - 81x = x(x^4 - 81)
x^4 - 81 වර්ග දෙකක අන්තරයකි.
x^4 - 81= (x²)^2 - 9^2
x^4 - 81 = (x² + 9)(x² - 9) වේ
x^5 - 81x = x(x² + 9)(x² - 9)
තවදුරටත් x² - 9 ද වර්ග දෙකක අන්තරයකි.
x² - 9 = x² - 3²
එමනිසා x² - 9 = (x + 3)(x - 3),
මේ අනුව x^5 - 81x = x(x² + 9)(x + 3)(x - 3) වේ.

(iii) 2w^4 - 162
2(w^4 - 81) මෙහි වර්ග දෙකක අන්තරයක් ඇති බව ඔබට පෙනේද?
w^4 - 81=(w^2 +9)(w^2 -9) මෙහි තවදුරටත් සාධක සෙවිය හැක.
w^2 -9=(w+9)(w -9)
2w^4 - 162= 2(w^4 - 81)
=2(w^2 +9)(w^2 -9)
=2(w^2 +9)(w+9)(w -9)

(iv) x^3 + 125 ප්‍රකාශනය සලකන්න.
x^3 + 5^3 => x^3 + y^3 =(x+y)(x^2−xy+y^2) ආකාර වේ.
x^3 + 125=(x+5)(x^2−5x+25)

(v) 192z - 3z^4 ප්‍රකාශනය සලකන්න.
192z - 3z^4 = 3z(64 - z^3)
64 - z^3 = 4^3 - z^3

මෙහිදී a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) ආකාරය සලකමු.
a = 4 සහ b = z නිසා
4^3 - z^3 = (4 - z)(4^2 + 4z + z^2) = (4 - z)(16 + 4z + z^2)
192z - 3z^4 = 3z(4 - z)(16 + 4z + z^2)

(vi) 768 - 3x^4 ප්‍රකාශනය සලකන්න.
768 - 3x^4 = 3(256 - x^4)
256 = 16^2
x^4 = (x^2)^2
3(256 - x4)= 3(16^2 - (x^2)^2)
= 3(16 + x^2)(16 - x^2)
16 - x^2 = (4 + x)(4 - x)
768 - 3x^4 = 3(16 + x^2)(4 + x)(4 - x)

(vii) 8y^3 + 216 ප්‍රකාශනය සලකන්න.
8y^3 + 216 = 8(y^3 + 27) = 8(y^3 + 3^3)
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
a = y හා b = 3 ආදේශයෙන්
y^3 + 3^3 = (y + 3)(y2 - 3y + 3^2) = (y + 3)(y^2 - 3y + 9)
8(y^3 + 3^3) = 8(y + 3)(y^2 - 3y + 9)
8y^3 + 216 = 8(y + 3)(y2 - 3y + 9)

(viii) a6 - b6 ප්‍රකාශනය සලකන්න.
a6 - b6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 is the difference of two squares.
a^6 - b^6 = (a^3 + b^3)(a^3 - b^3)
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
a^6 - b^6 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)(a - b)(a^2 + ab + b^2)
a^6 - b^6 = (a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)